Question

橢圓的離心率為分別是左、右焦點(diǎn)，過(guò)F₁的直線與圓（x+c）²+（y+2）²=1相切，且與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)時(shí)，求橢圓E的方程；
（2）若直線AB的傾斜角為銳角，當(dāng)c變化時(shí)，求證：AB的中點(diǎn)在一定直線上．

Answer 1

（1）解：由橢圓的離心率為，可設(shè)橢圓E：
根據(jù)已知設(shè)切線AB為：y=k（x+c），即kx-y+ck=0，
圓（x+c）²+（y+2）²=1的圓心（-c，-2）到直線kx-y+ck=0的距離為d==1
∴k=
∴切線AB為：y=（x+c），與橢圓方程聯(lián)立，消元可得5x²+8cx=0
∴x₁=0，x₂=-，
∴|AB|===
∴c=1，
∴橢圓E的方程為：．（9分）
（2）證明：由（1）及已知得，AB的中點(diǎn)（-），
故弦AB的中點(diǎn)在定直線（x＜0）上．（13分）
分析：（1）根據(jù)橢圓的離心率為，可設(shè)橢圓E：，設(shè)切線AB為：y=k（x+c），即kx-y+ck=0，利用圓（x+c）²+（y+2）²=1的圓心（-c，-2）到直線kx-y+ck=0的距離為d==1，求得斜率，再將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元，利用弦長(zhǎng)即可求得橢圓E的方程；
（2）由（1）及已知得AB的中點(diǎn)（-），從而可得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，聯(lián)立方程是關(guān)鍵．