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        1. 【題目】已知橢圓 的長軸長是短軸長的兩倍,且過點C(2,1),點C關(guān)于原點O的對稱點為點D.
          (1)求橢圓E的方程;
          (2)點P在橢圓E上,直線CP和DP的斜率都存在且不為0,試問直線CP和DP的斜率之積是否為定值?若是,求此定值;若不是,請說明理由:
          (3)平行于CD的直線l交橢圓E于M,N兩點,求△CMN面積的最大值,并求此時直線l的方程.

          【答案】
          (1)解:∵2a=22b,∴a=2b.

          設(shè)橢圓方程為

          橢圓E過點C(2,1),

          代入橢圓方程得 ,解得 ,則 ,

          所以所求橢圓E的方程為 ;


          (2)解:依題意得D(﹣2,﹣1)在橢圓E上.

          CP和DP的斜率KCP和KDP均存在.

          設(shè)P(x,y),則 ,

          又∵點P在橢圓E上,

          ,∴x2=8﹣4y2,代入①得,

          所以CP和DP的斜率KCP和KDP之積為定值


          (3)解:CD的斜率為 ,∵CD平行于直線l,∴設(shè)直線l的方程為

          消去y,整理得x2+2tx+(2t2﹣4)=0.

          設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2).

          ,得|MN|=

          =

          所以,

          當且僅當t2=4﹣t2時取等號,即t2=2時取等號

          所以△MNC面積的最大值為2.

          此時直線l的方程


          【解析】(1)由橢圓長軸長是短軸長的兩倍設(shè)出橢圓的方程,把點C的坐標代入橢圓方程可求解b,則橢圓的方程可求;(2)設(shè)出P點的坐標,寫出直線CP和DP的斜率,由點P在橢圓上得到P點橫縱坐標的關(guān)系式,代入斜率乘積的表達式整理可得直線CP和DP的斜率之積為定值;(3)由直線l平行于CD,設(shè)出直線l的斜截式方程,和橢圓方程聯(lián)立后求出弦MN的長度,由點到直線的距離公式求出C到MN的距離,代入面積公式后利用基本不等式求最大值,并求出使面積最大時的直線l的方程.
          【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解橢圓的標準方程的相關(guān)知識,掌握橢圓標準方程焦點在x軸:,焦點在y軸:

          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】定義在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的函數(shù)f(x),如果對于任意給定的等比數(shù)列{an},{f(an)}仍是等比數(shù)列,則稱f(x)為“保等比數(shù)列函數(shù)”.現(xiàn)有定義在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的如下函數(shù):①f(x)=x2;②f(x)=2x;③f(x)= ;④f(x)=ln|x|.則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的f(x)的序號為(
          A.①②
          B.③④
          C.①③
          D.②④

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】如圖,AB、CD是圓的兩條平行弦,BE∥AC,BE交CD于E、交圓于F,過A點的切線交DC的延長線于P,PC=ED=1,PA=2.

          (1)求AC的長;
          (2)試比較BE與EF的長度關(guān)系.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】如圖,P是⊙O外一點,PA是切線,A為切點,割線PBC與⊙O相交于點B,C,PC=2PA,D為PC的中點,AD的延長線交⊙O于點E,證明:

          (1)BE=EC;
          (2)ADDE=2PB2

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】已知點A(x1,y1),B(x2,y2),M(1,0),=(3λ,4λ)(λ≠0),=-4,若拋物線y2=ax經(jīng)過AB兩點,a的值為(  )

          A. 2 B. -2

          C. -4 D. 4

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】已知點P(x0,3)與點Q(x0,4)分別在橢圓=1與拋物線y2=2px(p>0).

          (1)求拋物線的方程;

          (2)設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2)(y1≤0,y2≤0)是拋物線上的兩點,∠AQB的角平分線與x軸垂直,求直線ABy軸上的截距的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的首項a1=1,sn是數(shù)列{an}的前n項和,且滿足:
          anSn+1﹣an+1Sn+an﹣an+1=λanan+1(λ≠0,n∈N
          (1)若a1 , a2 , a3成等比數(shù)列,求實數(shù)λ的值;
          (2)若λ= ,求Sn

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】已知數(shù)列{an}各項均為正數(shù),其前n項和為Sn,且滿足4Sn=(an+1)2.

          (1){an}的通項公式;

          (2)設(shè),數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,求Tn.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】設(shè)函數(shù)f (x)=(x+1)lnx﹣a (x﹣1)在x=e處的切線與y軸相交于點(0,2﹣e).
          (1)求a的值;
          (2)函數(shù)f (x)能否在x=1處取得極值?若能取得,求此極值;若不能,請說明理由.
          (3)當1<x<2時,試比較 大。

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