Question

已知A（-5，0），B（5，0），動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足|

PB

|，

1

2

|

PA

|，8成等差數(shù)列．
（1）求P點(diǎn)的軌跡方程；
（2）對(duì)于x軸上的點(diǎn)M，若滿(mǎn)足|

PA

|•|

PB

|=

PM

2，則稱(chēng)點(diǎn)M為點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的“比例點(diǎn)”．問(wèn)：對(duì)任意一個(gè)確定的點(diǎn)P，它總能對(duì)應(yīng)幾個(gè)“比例點(diǎn)”？

Answer 1

分析：（1）由條件|

PB

|，

1

2

|

PA

|，8成等差數(shù)列．得到條件方程，進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后根據(jù)圓錐曲線(xiàn)的定義進(jìn)行求解．
（2）根據(jù)條件|

PA

|•|

PB

|=

PM

2，建立方程關(guān)系，利用一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系，利用判別式進(jìn)行判斷．

解答：解：（1）∵動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足|

PB

|，

1

2

|

PA

|，8成等差數(shù)列．
∴|

PA

|-|

PB

|=8＜|AB|，
∴P點(diǎn)的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的右支，
且a=4，b=3，c=5．
∴P的軌跡方程為

x2

16

-

y2

9

=1，(x≥4)．
（2）設(shè)P（x₀，y₀），（x₀≥4），M（m，0），
∵

x 2 0

16

-

y 2 0

9

=1，
∴

y

2 0

=9(

x 2 0

16

-1)，
又

PA

=(-5-x0，-y0)，

PB

=(5-x0，-y0)，
則|

PA

|•|

PB

|=

(-5-x0)2+(-y0)2

?

(5-x0)2+(-y0)2

=

( 25 16 x 2 0 -16)2

=

25

16

x

2 0

-16，
又

PM

2=|

PM

|2=(x0-m)2+

y

2 0

=

25

16

x

2 0

-2mx0+m2-9．
由|

PA

|•|

PB

|=

PM

2，得m²-2mx₀+7=0．（*）
∵△=4

x

2 0

-28≥36＞0
∴方程(*)恒有兩個(gè)不等實(shí)根，
即對(duì)任意一個(gè)確定的點(diǎn)P，它總能對(duì)應(yīng)2個(gè)“比例點(diǎn)”．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓錐曲線(xiàn)的定義和應(yīng)用，以及一元二次方程的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．