Question

【題目】已知，函數(shù)，.

（1）求的單調(diào)區(qū)間

（2）討論零點的個數(shù)

Answer 1

【答案】（1）在區(qū)間，上是增函數(shù)；（2）見解析

【解析】

（1）先求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)正負判斷函數(shù)增減性

（2）先對求導(dǎo)，可判斷單調(diào)遞增，再通過賦值和可判斷存在實數(shù)

，使得，再通過討論在零點處的最小值是小于零還是大于零來進一步判斷零點個數(shù)

（1）的定義域為，且，則，,

當(dāng)時，，是減函數(shù)； 當(dāng)時，，是增函數(shù)

所以，所以在上，，

所以在區(qū)間，上是增函數(shù).

（2）由題意知，

令，因為，

所以在上單調(diào)遞增.

又，

.

所以存在實數(shù)，使得.

在上，，是減函數(shù)；在上，，是增函數(shù).

所以的最小值是，其中滿足，即，

所以

①當(dāng)，即時，的最小值為0，此時有一個零點；

②當(dāng)時，，沒有零點，此時.

由的單調(diào)性，可得；

③當(dāng)時，，有兩個零點.

又，所以，

由的單調(diào)性，可得.

綜上所述，當(dāng)時，沒有零點；

當(dāng)時，只有1個零點；

當(dāng)時，有2個零點.