Question

已知P是橢圓

x2

16

+

y2

8

=1上任意一點(diǎn)，EF是圓M：x²+（y-2）²=1的直徑，則

PE

•

PF

的最大值為

23

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意可求得

PE

•

PF

=

MP

2-1進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求

MP

2的最大值設(shè)P（x₀，y₀），代入橢圓的方程，根據(jù)點(diǎn)N的坐標(biāo)表示出

MP

2根據(jù)y₀的范圍求得，

MP

2取最大值進(jìn)而求得

PE

•

PF

的最大值．

解答：解：

PE

•

PF

=(

ME

-

MP

)•(

MF

-

MP

)=(-

MF

-

MP

)•(

MF

-

MP

)=(-

MP

)2-

MF

2=

MP

2-1
從而將求

PE

•

PF

的最大值轉(zhuǎn)化為求

MP

2的最大值
是橢圓M上的任一點(diǎn)，設(shè)P（x₀，y₀），則有

x 02

16

+

y 02

8

=1即x₀²=16-2y₀²
又M（0，2），所以

MP

2=x02+(y0-2)2=-(y0+2)2+24
而y₀∈[-2

2

，2

2

]，所以當(dāng)y₀=-2時(shí)，

MP

2取最大值24，
故

PE

•

PF

的最大值為23．
故答案為：23．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的問(wèn)題，向量的基本計(jì)算．考查了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．