Question

已知3sin²α+2sin²β=2sinα，求sin²α+sin²β的取值范圍．

Answer 1

分析：由3sin²α+2sin²β=2sinα，可得sin²β=sinα-

3

2

sin²α，代入所求的式子，由sin²β≥0可確定sinα的范圍，從而通過配方即可解決問題．

解答：解：∵3sin²α+2sin²β=2sinα，
∴sin²β=sinα-

3

2

sin²α≥0，
∴0≤sinα≤

2

3

；
∴sin²α+sin²β=sin²α+sinα-

3

2

sin²α
=-

1

2

(sinα-1)2+

1

2

，
∵0≤sinα≤

2

3

；
∴-

1

2

(sinα-1)2+

1

2

∈[0，

4

9

]．

點(diǎn)評：本題考查正弦函數(shù)的定義域和值域，難點(diǎn)在于利用正弦函數(shù)的定義域和值域求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，屬于中檔題．