Question

【題目】已知函數(shù).

(1)當(dāng)時(shí)，求證： ；

(2)設(shè)函數(shù) ，且有兩個(gè)不同的零點(diǎn) ，

①求實(shí)數(shù)的取值范圍； ②求證： .

Answer 1

【答案】（1）；（2）①； ②證明見解析

【解析】試題分析：（1）構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)增減性求證；（2）①只需函數(shù)的極小值小于0即可；②由①知，記，分析函數(shù)的增減性，可知單調(diào)遞減，所以，轉(zhuǎn)化為即可求證.

試題解析：

（1）記，則，在上，

即在上遞減，所以，即恒成立

記，則，在上，

即在上遞增，所以，即恒成立

①，定義域： ，則

易知在遞增，而，所以在上，

在遞減，在遞增， ,

要使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則

故實(shí)數(shù)的取值范圍是

②由①知，記

當(dāng)時(shí)，由①知： ，則

再由得，

，

故恒成立， 單調(diào)遞減

，即，而，

，所以，由題知， ， 在遞增，所以，即