Question

【題目】已知函數(shù)， ，（ ）.

（1）討論函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)， ，求證： .

（參考數(shù)據(jù)： 取， 取， 取）

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：

(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)有： ，（ ）分類討論可得：

當(dāng)時(shí)， 在上無零點(diǎn)；

當(dāng)或時(shí)， 在上有唯一零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)， 在上有兩個(gè)零點(diǎn).

(2)由題知作差變形，原問題等價(jià)于

設(shè)， ，都在函數(shù)（），

利用對(duì)稱差函數(shù)即可證得題中的結(jié)論.

試題解析：

（1）由題得， ，（ ）

當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞減.

∴當(dāng)時(shí)，

①當(dāng)即時(shí)無零點(diǎn)，故在上無零點(diǎn).

②即時(shí)，由單調(diào)性可知在上有唯一零點(diǎn)為.

③即時(shí)，由于，

（�。┤�即顯然

由單調(diào)性可知在上有兩個(gè)零點(diǎn).

（ⅱ）即，由單調(diào)性可知在上只有一個(gè)零點(diǎn).

綜上，當(dāng)時(shí)， 在上無零點(diǎn)；

當(dāng)或時(shí)， 在上有唯一零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)， 在上有兩個(gè)零點(diǎn).

（2）由題知， ，

兩式相加得，

兩式相減得即

∴

即

不妨設(shè)， ，令（），

則∴在上單調(diào)遞增，

則，∴即

∴

又

∴，即

令， ∴，∴在上單調(diào)遞增，

又

∴，即.