Question

已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù).
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）若函數(shù)對任意滿足，求證：當時，；
（Ⅲ）若，且，求證：

Answer 1

（Ⅰ）在內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù).當時，取得極大值=.
（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）見解析.

試題分析：（Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)=，然后令=0，解得.畫出，，隨著 變化而變化的表格，即可得出的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）先求出，然后令，求出，求出當時，即可得證；（Ⅲ）由得，不可能在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，則根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論，設(shè)，根據(jù)（Ⅱ）可知，而，故，即得證.
試題解析：（Ⅰ）∵=，∴=.
令=0，解得.

		2
	＋	0	－
	↗	極大值	↘

∴在內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù).
∴當時，取得極大值=.
（Ⅱ）證明：，,
∴=.
當時，＜0，＞4，從而＜0，
∴＞0，在是增函數(shù).

（Ⅲ）證明：∵在內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù).
∴當，且，，不可能在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi).
不妨設(shè)，由（Ⅱ）可知，
又，∴.
∵，∴.
∵，且在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，
∴，即