Question

【題目】已知點(diǎn)，過點(diǎn)作與軸平行的直線，點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)在直線上的投影，且滿足.

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）已知點(diǎn)為曲線上的一點(diǎn)，且曲線在點(diǎn)處的切線為，若與直線相交于點(diǎn)，試探究在軸上是否存在點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1);(2)見解析.

【解析】

試題分析：（1）設(shè)，由題得，則，，由化簡(jiǎn)即可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程可得直線的方程為，從而得點(diǎn)的坐標(biāo)為，由恒成立得解得，進(jìn)而可得結(jié)果.

試題解析：(1)設(shè)，由題得

又，

∴，

，

由，

得，即，

∴軌跡的方程為.

（2）設(shè)點(diǎn)，，

由，得，

∴，

∴直線的方程為

令，可得，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∴

，（*）

要使方程（*）對(duì)恒成立，則必有解得.

即在軸上存在點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過點(diǎn)，其坐標(biāo)為.