Question

某次演唱比賽，需要加試文化科學(xué)素質(zhì)，每位參賽選手需加答3個(gè)問(wèn)題，組委會(huì)為每位選手都備有10道不同的題目可供選擇，其中有5道文史類題目，3道科技類題目，2道體育類題目，測(cè)試時(shí)，每位選手從給定的10道題中不放回地隨機(jī)抽取3次，每次抽取一道題，回答完該題后，再抽取下一道題目作答．
（Ⅰ）求某選手第二次抽到的不是科技類題目的概率；
（Ⅱ）求某選手抽到體育類題目數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專題：應(yīng)用題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）利用互斥事件概率公式，可求某選手第二次抽到的不是科技類題目的概率；
（Ⅱ）由題意知抽到體育類題目數(shù)的可能取值為0，1，2，當(dāng)ξ=0時(shí)，表示沒(méi)有抽到體育類題目，當(dāng)ξ=1時(shí)，表示抽到體育類題目有1個(gè)；當(dāng)ξ=2時(shí)，表示抽到體育類題目有2個(gè)，求出概率，寫出分布列和期望．

解答： 解：（Ⅰ）記A：該選手第二次抽到的不是科技類題目；
B：該選手第一次抽到科技類而第二次抽到非科技類；
C：該選手第一次和第二次都抽到非科技類題目．
則P(A)=P(B+C)=P(B)+P(C)=

C 1 3 C 1 7

A 2 10

+

C 1 7 C 1 6

A 2 10

=

21

90

+

42

90

=

7

10

．（6分）
（Ⅱ）ξ的取值為0，1，2．
P(ξ=0)=

A 3 8

A 3 10

=

7

15

；P(ξ=1)=

3 A 1 2 A 2 8

A 3 10

=

7

15

；P(ξ=2)=

A 2 3 A 1 8

A 3 10

=

1

15

．
故ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	7 15	7 15	1 15

于是，ξ的期望Eξ=0×

7

15

+1×

7

15

+2×

1

15

=

3

5

．------（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，求離散型隨機(jī)變量的分布列和期望要注意解題格式．