Question

【題目】隨著中美貿(mào)易戰(zhàn)的不斷升級(jí)，越來越多的國內(nèi)科技巨頭加大了科技研發(fā)投入的力度．中華技術(shù)有限公司擬對(duì)“麒麟”手機(jī)芯片進(jìn)行科技升級(jí)，根據(jù)市場調(diào)研與模擬，得到科技升級(jí)投入x（億元與科技升級(jí)直接收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：

序號(hào)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
x	2	3	4	6	8	10	13	21	22	23	24	25
y	13	22	31	42	50	56	58	68.5	68	67.5	66	66

當(dāng)時(shí)，建立了y與x的兩個(gè)回歸模型：模型①：；模型②：；當(dāng)時(shí)，確定y與x滿足的線性回歸方程為．

（1）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當(dāng)時(shí)模型①、②的相關(guān)指數(shù)的大小，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預(yù)測(cè)對(duì)“麒麟”手機(jī)芯片科技升級(jí)的投入為17億元時(shí)的直接收益．

回歸模型	模型①	模型②
回歸方程
	182.4	79.2

（附：刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)，）

（2）為鼓勵(lì)科技創(chuàng)新，當(dāng)科技升級(jí)的投入不少于20億元時(shí)，國家給予公司補(bǔ)貼5億元，以回歸方程為預(yù)測(cè)依據(jù)，比較科技升級(jí)投入17億元與20億元時(shí)公司實(shí)際收益的大小．

（附：用最小二乘法求線性回歸方程的系數(shù)：，）

（3）科技升級(jí)后，“麒麟”芯片的效率X大幅提高，經(jīng)實(shí)際試驗(yàn)得X大致服從正態(tài)分布．公司對(duì)科技升級(jí)團(tuán)隊(duì)的獎(jiǎng)勵(lì)方案如下：若芯片的效率不超過50%，不予獎(jiǎng)勵(lì)：若芯片的效率超過50%，但不超過53%，每部芯片獎(jiǎng)勵(lì)2元；若芯片的效率超過53%，每部芯片獎(jiǎng)勵(lì)4元記為每部芯片獲得的獎(jiǎng)勵(lì)，求（精確到0.01）．

（附：若隨機(jī)變量，則，）

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）技術(shù)升級(jí)投入20億元時(shí)，公司的實(shí)際收益更大．（3）2.27元

【解析】

（1）由表格中的數(shù)據(jù)，，所以，

轉(zhuǎn)化，利用相關(guān)指數(shù)的定義即得解；

（2）當(dāng)時(shí)，由已知可得，可得，可得y與x滿足的線性回歸方程，代入計(jì)算即得結(jié)論；

（3）由，，所以，即得解.

解：（1）由表格中的數(shù)據(jù)，，所以，

所以．

可見模型①的相關(guān)指數(shù)小于模型②的相關(guān)指數(shù)．

所以回歸模型②的擬合效果更好．

所以當(dāng)億元時(shí)，科技升級(jí)直接收益的預(yù)測(cè)值為

（億元）．

（2）當(dāng)時(shí)，由已知可得．

．

所以．

所以當(dāng)時(shí)，y與x滿足的線性回歸方程為．

當(dāng)時(shí)，科技升級(jí)直接收益的預(yù)測(cè)值為億元．

當(dāng)億元時(shí)，實(shí)際收益的預(yù)測(cè)值為億元億元，

所以技術(shù)升級(jí)投入20億元時(shí)，公司的實(shí)際收益更大．

（3）因?yàn)?/span>，，所以

；

．

所以（元）．