Question

【題目】如圖，該幾何體由半圓柱體與直三棱柱構成，半圓柱體底面直徑，，，D為半圓弧的中點，若異面直線BD和所成角的大小為．

（1）證明：平面；

（2）求該幾何體的表面積和體積；

（3）求點D到平面的距離．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）表面積為，體積為，（3）

【解析】

（1）先根據(jù)弧中點性質得,再根據(jù)直三棱柱性質得,最后根據(jù)線面垂直判定定理證結果，

（2）建立空間直角坐標系，根據(jù)異面直線BD和所成角利用向量數(shù)量積解得棱柱的高，再根據(jù)圓柱側面積、柱體體積公式求幾何體的表面積和體積；

（3）利用等體積法求點D到平面的距離．

（1）因為D為半圓弧的中點，所以，

因為直三棱柱,所以平面，

因為平面,所以

因為平面,所以平面；

（2）以A為坐標原點，AC,AB,AA1所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系，設棱柱的高為則

因為異面直線BD和所成角的大小為，所以

幾何體的表面積為

幾何體的體積為

（3）因為直三棱柱,所以平面，

即點D到平面的距離為