Question

【題目】如圖，該幾何體由半圓柱體與直三棱柱構(gòu)成，半圓柱體底面直徑，，，D為半圓弧的中點(diǎn)，若異面直線BD和所成角的大小為．

（1）證明：平面；

（2）求該幾何體的表面積和體積；

（3）求點(diǎn)D到平面的距離．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）表面積為，體積為，（3）

【解析】

（1）先根據(jù)弧中點(diǎn)性質(zhì)得,再根據(jù)直三棱柱性質(zhì)得,最后根據(jù)線面垂直判定定理證結(jié)果，

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)異面直線BD和所成角利用向量數(shù)量積解得棱柱的高，再根據(jù)圓柱側(cè)面積、柱體體積公式求幾何體的表面積和體積；

（3）利用等體積法求點(diǎn)D到平面的距離．

（1）因?yàn)?/span>D為半圓弧的中點(diǎn)，所以，

因?yàn)橹比�棱�?/span>,所以平面，

因?yàn)?/span>平面,所以

因?yàn)?/span>平面,所以平面；

（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC,AB,AA1所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)棱柱的高為則

因?yàn)楫惷嬷本�BD和所成角的大小為，所以

幾何體的表面積為

幾何體的體積為

（3）因?yàn)橹比�棱�?/span>,所以平面，

即點(diǎn)D到平面的距離為