Question

【題目】已知函數f（x）=|x+m|+|2x﹣1|（m∈R） （I）當m=﹣1時，求不等式f（x）≤2的解集；
（II）設關于x的不等式f（x）≤|2x+1|的解集為A，且[ ，2]A，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（I）當m=﹣1時，f（x）=|x﹣1|+|2x﹣1|， f（x）≤2|x﹣1|+|2x﹣1|≤2，
上述不等式可化為：
或 或 ，
解得 或 或 ，
∴0≤x≤ 或 ＜x＜1或1≤x≤ ，
∴原不等式的解集為{x|0≤x≤ }．
（II）∵f（x）≤|2x+1|的解集包含[ ，2]，
∴當x∈[ ，2]時，不等式f（x）≤|2x+1|恒成立，
即|x+m|+|2x﹣1|≤|2x+1|在x∈[ ，2]上恒成立，
∴|x+m|+2x﹣1≤2x+1，
即|x+m|≤2，∴﹣2≤x+m≤2，
∴﹣x﹣2≤m≤﹣x+2在x∈[ ，2]上恒成立，
∴（﹣x﹣2）max≤m≤（﹣x+2）min ，
∴﹣ ≤m≤0，
所以實數m的取值范圍是[﹣ ，0]．
【解析】（Ⅰ）問題轉化為|x﹣1|+|2x﹣1|≤2，通過討論x的范圍，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）問題轉化為|x+m|+|2x﹣1|≤|2x+1|在x∈[ ，2]上恒成立，根據（﹣x﹣2）max≤m≤（﹣x+2）min ， 求出m的范圍即可．