Question

已知f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，g（x）=

lnx

x

，其中e是自然常數(shù)，a∈R．
（1）討論a=1時，函數(shù)f（x）的單調(diào)性和極值；
（2）求證：在（1）的條件下，f（x）＞g（x）+

1

2

；
（3）是否存在實數(shù)a使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）當a=1時，求函數(shù)的定義域，然后利用導數(shù)求函數(shù)的極值和單調(diào)性．
（2）利用（1）的結論，求函數(shù)f（x）的最小值以及g（x）的最大值，利用它們之間的關系證明不等式．
（3）利用導數(shù)求函數(shù)的最小值，讓最小值等于3，解參數(shù)a．

解答：解：（1）因為f(x)=x-lnx，f′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

，所以當0＜x＜1時，f'（x）＜0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
  當1＜x≤e時，f'（x）＞0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．所以函數(shù)f（x）的極小值為f（1）=1．
（2）因為函數(shù)f（x）的極小值為1，即函數(shù)f（x）在（0，e]上的最小值為1．
又g′(x)=

1-lnx

x2

，所以當0＜x＜e時，=g'（x）＞0，此時g（x）單調(diào)遞增．
所以g（x）的最大值為g（e）=

1

e

＜

1

2

，所以f(x)min-g(x)max＞

1

2

，所以在（1）的條件下，f（x）＞g（x）+

1

2

．
（3）假設存在實數(shù)a，使f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，有最小值3，則f′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

，
①當a≤0時，f'（x）＜0，f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，f(x)min=f(e)=ae-1=3，a=

4

e

，（舍去），此時函數(shù)f（x）的最小值是不是3．
②當0＜

1

a

＜e時，f（x）在（0，

1

a

]上單調(diào)遞減，f（x）在（

1

a

，e]上單調(diào)遞增．
所以(x)min=f(

1

a

)=1+lna=3，a=e2，滿足條件．
③當

1

a

≥e時，f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，f(x)min=f(e)=ae-1=3，a=

4

e

，（舍去），此時函數(shù)f（x）的最小值是不是3．
綜上可知存在實數(shù)a=e²，使f（x）的最小值是3．

點評：本題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性研究函數(shù)的單調(diào)性問題，運算量較大，綜合性較強．