Question

在如圖的幾何體中，平面CDEF為正方形，平面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=2BC，∠ABC=60°，AC⊥FB．
（1）求證：AC⊥平面FBC；
（2）求直線BF與平面ADE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）證明1：由余弦定理得AC=

3

BC，所以AC⊥BC，由此能夠證明AC⊥平面FBC．
證明2：設(shè)∠BAC=α，∠ACB=120°-α．由正弦定理能推出AC⊥BC，由此能證明AC⊥平面FBC．
（2）解法1：由（1）結(jié)合已知條件推導(dǎo)出AC⊥FC．由平面CDEF為正方形，得到CD⊥FC，由此入手能求出直線BF與平面ADE所成角的正弦值．
解法2：由題設(shè)條件推導(dǎo)出CA，CB，CF兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系利用向量法能求出直線BF與平面ADE所成角的正弦值．

解答：（1）證明1：因?yàn)锳B=2BC，∠ABC=60°，
在△ABC中，由余弦定理得：
AC²=（2BC）²+BC²-2×2BC•BC•cos60°，
即AC=

3

BC．…（2分）
所以AC²+BC²=AB²．
所以AC⊥BC．…（3分）
因?yàn)锳C⊥FB，BF∩BC=B，BF、BC?平面FBC，
所以AC⊥平面FBC．…（4分）
證明2：因?yàn)椤螦BC=60°，
設(shè)∠BAC=α（0°＜α＜120°），則∠ACB=120°-α．
在△ABC中，由正弦定理，得

BC

sinα

=

AB

sin(120°-α)

．…（1分）
因?yàn)锳B=2BC，所以sin（120°-α）=2sinα．
整理得tanα=

3

3

，所以α=30°．…（2分）
所以AC⊥BC．…（3分）
因?yàn)锳C⊥FB，BF∩BC=B，BF、BC?平面FBC，
所以AC⊥平面FBC．…（4分）
（2）解法1：由（1）知，AC⊥平面FBC，F(xiàn)C?平面FBC，
所以AC⊥FC．
因?yàn)槠矫鍯DEF為正方形，所以CD⊥FC．
因?yàn)锳C∩CD=C，所以FC⊥平面ABCD．…（6分）
取AB的中點(diǎn)M，連結(jié)MD，ME，
因?yàn)锳BCD是等腰梯形，且AB=2BC，∠DAM=60°，
所以MD=MA=AD．所以△MAD是等邊三角形，且ME∥BF．…（7分）
取AD的中點(diǎn)N，連結(jié)MN，NE，則MN⊥AD．…（8分）
因?yàn)镸N?平面ABCD，ED∥FC，所以ED⊥MN．
因?yàn)锳D∩ED=D，所以MN⊥平面ADE． …（9分）
所以∠MEN為直線BF與平面ADE所成角． …（10分）
因?yàn)镹E?平面ADE，所以MN⊥NE．…（11分）
因?yàn)?span id="c95b0kp" class="MathJye">MN=

3

2

AD，ME=

MD2+DE2

=

2

AD，…（12分）
在Rt△MNE中，sin∠MEN=

MN

ME

=

6

4

．…（13分）
所以直線BF與平面ADE所成角的正弦值為

6

4

．…（14分）
解法2：由（1）知，AC⊥平面FBC，F(xiàn)C?平面FBC，
所以AC⊥FC．
因?yàn)槠矫鍯DEF為正方形，所以CD⊥FC．
因?yàn)锳C∩CD=C，所以FC⊥平面ABCD．…（6分）
所以CA，CB，CF兩兩互相垂直，
建立如圖的空間直角坐標(biāo)系C-xyz．…（7分）
因?yàn)锳BCD是等腰梯形，且AB=2BC，∠ABC=60°
所以CB=CD=CF．
不妨設(shè)BC=1，則B（0，1，0），F(xiàn)（0，0，1），A(

3

，0，0)，D(

3

2

，-

1

2

，0)，E(

3

2

，-

1

2

，1)，
所以

BF

=(0，-1，1)，

DA

=(

3

2

，

1

2

，0)，

DE

=(0，0，1)．…（9分）
設(shè)平面ADE的法向量為

n

=（x，y，z），
則有

n • DA =0 n • DE =0.

即

3 2 x+ y 2 =0 z=0.

取x=1，得

n

=(1，-

3

，0)是平面ADE的一個(gè)法向量．…（11分）
設(shè)直線BF與平面ADE所成的角為θ，
則sinθ=|cos?

BF

，

n

＞|=|

BF • n

| BF |•| n |

|=|

(0，-1，1)•(1，- 3 ，0)

2 •2

|=

6

4

．…（13分）
所以直線BF與平面ADE所成角的正弦值為

6

4

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值，解題時(shí)要注意向量法的合理運(yùn)用，注意空間思維能力的培養(yǎng)．