Question

如圖，在幾何體ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE＝AB＝2，CD＝1，點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)。

（1）證明：DF∥平面ABC；

（2）求AB與平BDF所成角的大小。

Answer 1

解：（1）取AB的中點(diǎn)G，連CG，GF，如圖a所示。

則GF∥BE，且，

∴GF∥CD，且GF＝CD。

∴四邊形FGCD是平行四邊形。

∴GF∥CG，又平面ABC，平面ABC，

∴DF∥平面ABC。

（2）解法一：設(shè)A到平面BDF的距離為，

由得

在中，，

∴，又，且，

∴

又設(shè)AB與平面BDF所成的角為，則，

故AB與平面BDF所成的角為。

解法二：以點(diǎn)B為原點(diǎn)，BA、BC、BE所在的直線分別為、、軸，

建立如圖b所示的空間直角坐標(biāo)

系，則B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），D（0，2，1），

E（0，0，2），F(xiàn)（1，0，1）．

設(shè)平面BDF的一個(gè)法向量為，

∵

∴

即，解得

∴。

 又設(shè)AB與平面BDF所成的角為，則法線與所成的角為，

∴，即

故AB與平面BDF所成的角為。