Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)是奇函數(shù)，求實數(shù)的值；

（2）若關(guān)于的方程在區(qū)間上有解，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求出函數(shù)的解析式，由奇函數(shù)的定義得出，結(jié)合指數(shù)運算可求出實數(shù)的值；

（2）由（1）知，函數(shù)為奇函數(shù)且為減函數(shù)，由，得出，可得出關(guān)于的方程在區(qū)間上有解，構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在區(qū)間上有零點，結(jié)合二次函數(shù)零點分布求出實數(shù)的取值范圍.

（1），函數(shù)的定義域為，

由于函數(shù)是奇函數(shù)，則，即，

，因此，；

（2）是奇函數(shù)，

則方程等價為

，即，

則，

函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，在區(qū)間上有解，

即在區(qū)間上有解.

構(gòu)造函數(shù)，.

①若函數(shù)在區(qū)間有且只有一個零點，

則或，解得或.

當時，，令，得，，不合乎題意；

當時，，令，得，，不合乎題意；

②若函數(shù)在區(qū)間有兩個零點，則，此時.

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.