Question

【題目】已知定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x），滿足f（mn）=f（m）+f（n）（m，n＞0），且當(dāng)x＞1時，有f（x）＞0．
①求證：f（ ）=f（m）﹣f（n）；
②求證：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
③比較f（ ）與 的大小．

Answer 1

【答案】證明：①∵f（m）=f（n ）=f（ ）+f（n），
∴f（ ）=f（m）﹣f（n）；
②任取x1 ， x2∈（0，+∞），且x1＜x2 ， 則 ，
∵x1＜x2 ， ∴ ，
∴ ，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
③f（ ）﹣ = f（ ）+ f（ ）﹣
= （f（ ）﹣f（m））+ （f（ ）﹣f（n））
= f（ ）+ f（ ）= f（ ），
∵
故
【解析】①利用抽象函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行遞推即可．②根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，利用定義法進(jìn)行證明即可，③利用作差法結(jié)合抽象函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行證明即可．