Question

【題目】如圖所示，在中，斜邊，將沿直線旋轉(zhuǎn)得到，設(shè)二面角的大小為.

（1）取的中點，過點的平面與分別交于點，當(dāng)平面平面時，求的長（2）當(dāng)時，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)兩個面平行的性質(zhì)，可以得出交線平行，利用中位線的性質(zhì)可得；（2）過點作交于點，可證明平面，建立以點為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的夾角可求出二面角的余弦值.

試題解析：（1）因為平面平面,平面平面，

平面平面，所以.

因為為的中點，所以為的中點.

同理可證： 為的中點.所以.

在中，斜邊,可知： ,即,

所以.

（2）過點作交于點,連接,則.

因為，所以平面平面.

因為平面平面， 平面，所以平面.

以點為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

在中， ，所以.

所以.所以.

設(shè)平面的一個法向量為，

則可得令可得.

易知： 平面.

所以.所以二面角的余弦值為.