【題目】已知幾何體如圖所示,其中
兩兩互相垂直且
,且
.
(1)求此幾何體的體積;
(2)求異面直線與
所成角的余弦值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1) 首先證明平面
,再證明底面為梯形CEDB為梯形,利用四棱錐的體積公式可求出體積;
(2) 在線段EC上取點(diǎn)F,使得EF=BD=1,連接BF,AF,構(gòu)造平行四邊形EFBD,在中,運(yùn)用余弦定理即可求得答案.
(1)∵兩兩互相垂直,∴
,又∵
平面
,
∴平面
,又
,故底面為梯形,所以幾何體
為四棱錐,體積為
(2)
在線段EC上取點(diǎn)F,使得EF=BD=1,連接BF,AF,則四邊形EFBD為平行四邊形,DE//BF,則∠FBA即為異面直線與
所成角,
,所以
,
,
,
在中,由余弦定理可得
,即
,解得
,即異面直線
與
所成角的余弦值為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在折線中,
,
,
分別是
的中點(diǎn),若折線上滿(mǎn)足條件
的點(diǎn)
至少有
個(gè),則實(shí)數(shù)
的取值范圍是___________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】目前,中國(guó)有三分之二的城市面臨“垃圾圍城”的窘境. 我國(guó)的垃圾處理多采用填埋的方式,占用上萬(wàn)畝土地,并且嚴(yán)重污染環(huán)境. 垃圾分類(lèi)把不易降解的物質(zhì)分出來(lái),減輕了土地的嚴(yán)重侵蝕,減少了土地流失. 2020年5月1日起,北京市將實(shí)行生活垃圾分類(lèi),分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)為廚余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四類(lèi) .生活垃圾中有30%~40%可以回收利用,分出可回收垃圾既環(huán)保,又節(jié)約資源. 如:回收利用1噸廢紙可再造出0.8噸好紙,可以挽救17棵大樹(shù),少用純堿240千克,降低造紙的污染排放75%,節(jié)省造紙能源消耗40%~50%.
現(xiàn)調(diào)查了北京市5個(gè)小區(qū)12月份的生活垃圾投放情況,其中可回收物中廢紙和塑料品的投放量如下表:
|
|
|
|
| |
廢紙投放量(噸) | 5 | 5.1 | 5.2 | 4.8 | 4.9 |
塑料品投放量(噸) | 3.5 | 3.6 | 3.7 | 3.4 | 3.3 |
(Ⅰ)從這5個(gè)小區(qū)中任取1個(gè)小區(qū),求該小區(qū)12月份的可回收物中,廢紙投放量超過(guò)5噸且塑料品投放量超過(guò)3.5噸的概率;
(Ⅱ)從這5個(gè)小區(qū)中任取2個(gè)小區(qū),記
為12月份投放的廢紙可再造好紙超過(guò)4噸的小區(qū)個(gè)數(shù),求
的分布列及期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】直三棱柱中,底面
為等腰直角三角形,
,
,
,
是側(cè)棱
上一點(diǎn),設(shè)
.
(1) 若,求
的值;
(2) 若,求直線
與平面
所成的角.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PCD,
,
,
,E為AD的中點(diǎn),AC與BE相交于點(diǎn)O.
(1)證明:平面ABCD.
(2)求直線BC與平面PBD所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】
對(duì)定義在區(qū)間上的函數(shù)
,若存在閉區(qū)間
和常數(shù)
,使得對(duì)任意的
都有
,且對(duì)任意的
都有
恒成立,則稱(chēng)函數(shù)
為區(qū)間
上的“U型”函數(shù)。
(1)求證:函數(shù)是
上的“U型”函數(shù);
(2)設(shè)是(1)中的“U型”函數(shù),若不等式
對(duì)一切的
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(3)若函數(shù)是區(qū)間
上的“U型”函數(shù),求實(shí)數(shù)
和
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中a為非零常數(shù).
討論
的極值點(diǎn)個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由;
若
,
證明:
在區(qū)間
內(nèi)有且僅有1個(gè)零點(diǎn);
設(shè)
為
的極值點(diǎn),
為
的零點(diǎn)且
,求證:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求在點(diǎn)
處的切線方程;
(2)若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根
,
,且
,證明
.
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