Question

【題目】已知函數(shù)，集合.

（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；

（2）若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，求函數(shù)的值域.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?/span>；

當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?/span>；當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?/span>．

【解析】分析：（1）先根據(jù)一元二次方程解得ex＞3，再解對數(shù)不等式得解集，（2）解一元二次不等式得集合A,再根據(jù)，得log2f(x)≥1在0≤x≤1上有解，利用變量分離法得a≥3ex－e2x在0≤x≤1上有解，即a≥[3ex－e2x]min.最后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最值得結(jié)果,（3）先轉(zhuǎn)化為對勾函數(shù)，再根據(jù)拐點(diǎn)與定義區(qū)間位置關(guān)系，分類討論，結(jié)合單調(diào)性確定函數(shù)值域.

詳解：（1）當(dāng)a＝－3時(shí)，由f(x)＞1得ex－3e-x－1＞1，

所以e2x－2ex－3＞0，即(ex－3) (ex＋1)＞0，

所以ex＞3，故x＞ln3，

所以不等式的解集為(ln3，+∞).

（2）由x2－x≤0，得0≤x≤1，所以A＝{x|0≤x≤1}.

因?yàn)锳∩B≠，所以log2f(x)≥1在0≤x≤1上有解，

即 f(x)≥2在0≤x≤1上有解，

即ex＋ae-x－3≥0在0≤x≤1上有解，

所以a≥3ex－e2x在0≤x≤1上有解，即a≥[3ex－e2x]min.

由0≤x≤1得1≤ex≤e，

所以3ex－e2x＝－(ex－)2＋∈[3e－e2，]，

所以a≥3e－e2.

（3）設(shè)t＝ex，由（2）知1≤t≤e，

記g(t)＝t＋－1(1≤t≤e，a＞1)，則，

t	(1，)		(，＋∞)
g′(t)	－	0	＋
g(t)	↘	極小值	↗

①當(dāng)≥e時(shí)，即a≥e2時(shí)，

g(t)在1≤t≤e上遞減，所以g(e)≤g(t)≤g(1)，即．

所以f(x)的值域?yàn)?/span>.

②當(dāng)1＜＜e時(shí)，即1＜a＜e2時(shí)，

g(t)min= g()＝2－1，g(t)max=max{ g(1)，g(e)} =max{ a，}．

1°若a，即e＜a＜e2時(shí)，g(t)max= g(1)= a；

所以f(x)的值域?yàn)?/span>；

2°若a，即1＜a≤e時(shí)，g(t)max= g(e) =，

所以f(x)的值域?yàn)?/span>．

綜上所述，當(dāng)1＜a≤e時(shí)，f(x)的值域?yàn)?/span>；

當(dāng)e＜a＜e2時(shí)，f(x)的值域?yàn)?/span>；

當(dāng)a≥e2時(shí)，f(x)的值域?yàn)?/span>．