Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB⊥x軸與點(diǎn)C，，，動點(diǎn)M到直線AB的距離是它到點(diǎn)D的距離的2倍．
（I）求點(diǎn)M的軌跡方程
（II）設(shè)點(diǎn)K為點(diǎn)M的軌跡與x軸正半軸的交點(diǎn)，直線l交點(diǎn)M的軌跡于E，F(xiàn)兩點(diǎn)（E，F(xiàn)與點(diǎn)K不重合），且滿足．動點(diǎn)P滿足，求直線KP的斜率的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）欲求點(diǎn)M的軌跡方程，由橢圓的定義知動點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)D為焦點(diǎn)、直線AB為其相應(yīng)準(zhǔn)線，離心率為的橢圓，只須求出其a，b，c即可．
（II）先設(shè)設(shè)直線EF的方程為x=my+n，代入橢圓方程得到關(guān)于y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合向量條件求得n的值，再利用向量關(guān)系式表示出直線KP的斜率，最后求出斜率的取值范圍．
解答：解：（I）依題意知，點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)D為焦點(diǎn)、
直線AB為其相應(yīng)準(zhǔn)線，離心率為的橢圓
設(shè)橢圓的長軸長為2a，短軸長為2b，焦距為2c，
又，，
∴點(diǎn)D在x軸上，且，則=3
解之得：a=2，c=1，．
∴坐標(biāo)原點(diǎn)O為橢圓的對稱中心．
∴動點(diǎn)M的軌跡方程為：；（4分）
（II）設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
設(shè)直線EF的方程為x=my+n，
代入得（3m²+4）y²+6mny+3n²-12=0．（5分）
△=36m²n²-12（3m²+4）（n²-4），

.（6分）
∵，∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0，
∴，∴7n²-16n+4=0．
解得：，n=2（舍）．（8分）
設(shè)P（x，y），由知，
．
直線KP的斜率為．（10分）
當(dāng)m=0時，k=0；
當(dāng)m≠0時，，
∵時取“=”）
或時取“=”），
∴（12分）
綜上所述．（13分）
點(diǎn)評：本小題主要考查曲線與方程，直線和圓錐曲線，向量的運(yùn)算等基礎(chǔ)知識，以及求最值的基本技能和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力．