Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓G的離心率為

15

4

，左頂點(diǎn)為A（-4，0）．圓O′：(x-2)2+y2=

4

9

（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）過(guò)M（0，1）作圓O′的兩條切線交橢圓于E、F，判斷直線EF與圓的位置關(guān)系，并證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用橢圓G的離心率為

15

4

，左頂點(diǎn)為A（-4，0），建立方程，即可求得橢圓G的方程；
（Ⅱ）直線EF與圓O'的相切．設(shè)過(guò)點(diǎn)M（0，1）與圓相切的直線方程為：y-1=kx，由圓心到直線的距離等于半徑求k的值，與橢圓方程聯(lián)立，表示出E，F(xiàn)和坐標(biāo)，從而得到EF所在的直線的方程，再探討圓心到直線的距離和半徑的關(guān)系．

解答：解：（Ⅰ）∵橢圓G的離心率為

15

4

，左頂點(diǎn)為A（-4，0）
∴

c

a

=

15

4

，a=4
∴c=

15

，∴b=1
∴橢圓G的方程為

x2

16

+y2=1；
（Ⅱ）直線EF與圓O'的相切
設(shè)過(guò)點(diǎn)M（0，1）與圓O′：(x-2)2+y2=

4

9

相切的直線方程為：y-1=kx①
則

2

3

=

|2k+1|

1+k2

，即32k²+36k+5=0②，解得k1=

-9+ 41

16

，k2=

-9- 41

16

把①代入橢圓方程，消去y可得（16k²+1）x²+32kx=0，則異于零的解為x=-

32k

16k2+1

設(shè)F（x₁，k₁x₁+1），E（x₂，k₂x₂+1），則x₁=-

32k1

16k12+1

，x₂=-

32k2

16k22+1

則直線FE的斜率為：k_EF=

k1+k2

1-16k1k2

=

3

4

于是直線FE的方程為：y+

32k12

16k12+1

-1=

3

4

（x+

32k1

16k12+1

）即y=

3

4

x-

7

3

則圓心（2，0）到直線FE的距離d=

| 3 2 - 7 3 |

1+ 9 16

=

2

3

，故結(jié)論成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要是通過(guò)圓和橢圓來(lái)考查直線和圓，直線和橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力．