Question

【題目】正三棱柱的底邊長為2， 分別為的中點.

（1）已知為線段上的點，且，求證： 面；

（2）若二面角的余弦值為，求的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（I）取B1A1中點為N，連結(jié)BN，推導(dǎo)出BN∥A1F，從而EM∥BN，進(jìn)而EM∥A1F，由此能證明EM∥面A1FC．
（II）以F為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AA1=a，利用向量法能求出結(jié)果．

試題解析：

證明：(1)取中點為N,連結(jié)BN

則BN∥F,又=4M，

則EM∥BN,所以EM∥F，

因為EM面FC, F面FC，

故EM∥面FC.

(2)如圖,以F為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)A=a.

則F(0,0,0), (1,0,a),E(1,0,a2),C(0, ,0)，

(1, ,), (0, ,0), (2,0, ), (1, ,a)，

設(shè)平面CF法向量為，

設(shè)平面EF法向量為

則,取z=1,得=(a,0,1)，

,取x=1,得=(a, a,4)；

設(shè)二面角ECF的平面角為θ，

∵二面角ECF所成角的余弦值為，

所以

解得

所以.