Question

【題目】已知點(diǎn)在圓上， 的坐標(biāo)分別為， ，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)交線(xiàn)段于點(diǎn)

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）設(shè)圓與點(diǎn)的軌跡交于不同的四個(gè)點(diǎn)，求四邊形的面積的最大值及相應(yīng)的四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）（2）矩形的面積的最大值為，此時(shí)，

四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為： ， ， ， ．

【解析】試題分析：（1）由線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)性質(zhì)得，再根據(jù)橢圓定義確定軌跡，最后根據(jù)基本量求方程（2）由題意得四邊形為矩形，各點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，因此可設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，表示四邊形的面積，再根據(jù)基本不等式求最值，最后求對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)

試題解析：解：（Ⅰ）由已知得： ，而，

所以點(diǎn)的軌跡是以， 為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，

設(shè)，所以點(diǎn)的軌跡的方程： ．

（Ⅱ）由對(duì)稱(chēng)性可知，四邊形為矩形，不妨設(shè)為橢圓上第一象限的點(diǎn)，

則，

而， ，且，

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)，即， 時(shí)，取“”，

所以矩形的面積的最大值為，此時(shí)，

四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為： ， ， ， ．