Question

【題目】已知拋物線(xiàn)C：y2=4x，其焦點(diǎn)為F，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P（﹣2，0）

（1）若直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求l的方程；

（2）若直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)A、B，求|FA|+|FB|的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y = 0 或 x y + 2 = 0 （2）(6, +∞)

【解析】

（1）當(dāng)直線(xiàn)l的斜率為0時(shí)，直線(xiàn)l的方程為y=0；當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為y=k（x+2），聯(lián)立直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用判別式為0求得k值，則直線(xiàn)方程可求.

（2）聯(lián)立聯(lián)立，得k2x2+（4k2﹣4）x+4k2=0，利用判別式大于0求得k的范圍，再由拋物線(xiàn)的焦半徑公式及根與系數(shù)的關(guān)系可得．

則|FA|+|FB|的取值范圍可求．

（1）如圖，當(dāng)直線(xiàn)l的斜率為0時(shí)，直線(xiàn)l的方程為y=0；

當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為y=k（x+2），

聯(lián)立，得k2x2+（4k2﹣4）x+4k2=0．

由△=（4k2﹣4）2﹣16k4=﹣32k2+16=0，解得k=．

∴直線(xiàn)方程為y=．

綜上，若直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，

直線(xiàn)l的方程為：y=0或y=；

（2）聯(lián)立聯(lián)立，得k2x2+（4k2﹣4）x+4k2=0．

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．

當(dāng)k≠0時(shí)，由△=﹣32k2+16＞0，得﹣＜k＜．

∴﹣＜k＜0或0＜k＜．

．

|FA|=，|FB|=，

則|FA|+|FB|=，

∵0，∴，則﹣2+＞6．

∴|FA|+|FB|的取值范圍是（6，+∞）．