Question

如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，

AB

=

AD

，過A點(diǎn)的切線交CB的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)．求證：AB²=BE•CD．

Answer 1

分析：根據(jù)圓的切線，得到圓周角等于同弧所對(duì)的弦切角，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，得到一個(gè)內(nèi)角等于不相鄰的內(nèi)角，有兩個(gè)角相等，得到兩個(gè)三角形相似，得到對(duì)應(yīng)邊成比例，把比例式轉(zhuǎn)化為等式得到結(jié)果．

解答：證明：連接AC，
∵EA切⊙O于A，
∴∠EAB=∠ACB．
∵

AB

=

AD

，
∴∠ACD=∠ACB，AB=AD．
于是∠EAB=∠ACD．
又四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠ABE=∠D．
∴△ABE∽△CDA．
于是

AB

CD

=

BE

DA

，即AB•DA=BE•CD．
∴AB²=BE•CD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查同弧所對(duì)的圓周角等于弦切角，考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，考查兩個(gè)三角形相似的判定和性質(zhì)，是一個(gè)比較簡(jiǎn)單的綜合題目．