Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=1nx．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求證：當(dāng)x＞0時， ；
（Ⅲ）若x﹣1＞a1nx對任意x＞1恒成立，求實數(shù)a的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） ，f'（1）=1，
又f（1）=0，所以切線方程為y=x﹣1；
（Ⅱ）證明：由題意知x＞0，令 = ．
令 ，解得x=1．
易知當(dāng)x＞1時，g'（x）＞0，易知當(dāng)0＜x＜1時，g'（x）＜0．
即g（x）在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增，
所以g（x）min=g（1）=0，g（x）≥g（1）=0
即 ，即x＞0時， ；
（Ⅲ）設(shè)h（x）=x﹣1﹣a1nx（x≥1），
依題意，對于任意x＞1，h（x）＞0恒成立．
，a≤1時，h'（x）＞0，h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)x＞1時，h（x）＞h（1）=0，滿足題意．
a＞1時，隨x變化，h'（x），h（x）的變化情況如下表：

x	（1，a）	a	（a，+∞）
h'（x）	﹣	0	+
h（x）	↘	極小值	↗

h（x）在（1，a）上單調(diào)遞減，所以g（a）＜g（1）=0
即當(dāng)a＞1時，總存在g（a）＜0，不合題意．
綜上所述，實數(shù)a的最大值為1
【解析】（Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù) ，求出斜率f'（1）=1，然后求解切線方程．（Ⅱ）化簡 = ．求出 ，令 ，解得x=1．判斷函數(shù)的單調(diào)性求出極小值，推出結(jié)果．（Ⅲ）設(shè)h（x）=x﹣1﹣a1nx（x≥1），依題意，對于任意x＞1，h（x）＞0恒成立． ，a≤1時，a＞1時，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解最值推出結(jié)論即可．
【考點精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減才能正確解答此題．