Question

【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足：.

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡曲線的方程并說明是何種曲線；

（2）若拋物線：的焦點(diǎn)恰為曲線的頂點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為：，點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線的右支；

（2）或

【解析】

（1）由動(dòng)點(diǎn)滿足，可得到軌跡曲線為雙曲線的右支；

（2）由（1）可得F的坐標(biāo)，然后再求出拋物線的方程，設(shè)出直線的方程為，后根據(jù)焦點(diǎn)弦弦長公式得到關(guān)于k的方程，解出即可．

解：（1）根據(jù)雙曲線的定義：

點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線的右支

且，所以，，，，

所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為：.

（2）因?yàn)榍�線的頂點(diǎn)為，所以拋物線的方程為：，

當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，不滿足題意，

設(shè)直線：，

由拋物線的定義知：，，，

所以，

將代入得：，

所以，解得，

所以直線的方程為：或.