Question

【題目】已知橢圓的離心率為，為橢圓上任意一點(diǎn)，且已知.

（1）若橢圓的短軸長(zhǎng)為，求的最大值；

（2）若直線(xiàn)交橢圓的另一個(gè)點(diǎn)為，直線(xiàn)交軸于點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，且，三點(diǎn)共線(xiàn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

Answer 1

【答案】（1）5；（2）

【解析】

（1）由，，解方程組得到橢圓的方程，再利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算即可；

（2）當(dāng)斜率為時(shí)，三點(diǎn)共線(xiàn)；當(dāng)斜率不為時(shí)，設(shè)直線(xiàn)，聯(lián)立橢圓方程得到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用三點(diǎn)共線(xiàn)，即計(jì)算即可得到橢圓方程.

（1）由題意，∴，且，∴，

所以，

設(shè)，則

∵，故當(dāng)時(shí)，.

（2）當(dāng)斜率為時(shí)，三點(diǎn)共線(xiàn)；

當(dāng)斜率不為時(shí)，設(shè)直線(xiàn)，與橢圓，即聯(lián)立得：

，設(shè)，，則

，，

又由題知，，∴，

故由三點(diǎn)共線(xiàn)得，即，

∴，∴

代入韋達(dá)定理得：，∴，，

故橢圓方程為.