Question

已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-2，0），B（1，0），C（0，4）
（Ⅰ）若直線y=2x+b平分△ABC面積，求實(shí)數(shù)b的值；
（Ⅱ）若直線y=kx+b（k＞0）平分△ABC的面積，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于直線y=2x+b平分△ABC面積，若設(shè)直線y=2x+b與△ABC的邊AB、BC分別交于E、F，
只需S△EBF=

1

2

S△ABC，整理得：|2+b|=3

2

，又由b＞0，進(jìn)而可得b的值；
（Ⅱ）分三種情況討論：
①若直線y=kx+b（k＞0）與三角形邊AB、BC分別交于點(diǎn)E、F，平分三角形ABC面積，
②若直線y=kx+b（k＞0）與三角形邊AC、BC分別交于點(diǎn)E、F，平分三角形ABC面積，
③若直線y=kx+b（k＞0）與三角形邊AB、AC分別交于點(diǎn)E、F，平分三角形ABC面積，
由面積相等知即S△EBF=S△CDB=

1

2

S△ABC，同理得到進(jìn)而可得到實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)直線y=2x+b與△ABC的邊AB、BC分別交于E、F，
點(diǎn)B到EF、AC的距離分別為d₁，d₂，∵k_AC=k_EF，∴AC∥EF，
S△EBF=

1

2

S△ABC，∴

d1

d2

=

1

2

，

|2+b| 5

|2+4| 5

=

1

2

，整理得：|2+b|=3

2

，
又b＞0，b=3

2

-2；
（Ⅱ）分三種情況討論：
①若直線y=kx+b（k＞0）與三角形邊AB、BC分別交于點(diǎn)E、F，平分三角形ABC面積：

取AB中點(diǎn)D，連CD，CE，過點(diǎn)D作DF∥CE，交BC于點(diǎn)F，
∵DF∥CE，∴S_△EDF=S_△CDF，∴有S_△EDF+S_△BDF=S_△CDF+S_△BDF
即S△EBF=S△CDB=

1

2

S△ABC，直線EF平分三角形ABC面積．
又k＞0，點(diǎn)E在線段AD滿足條件，
當(dāng)E與A點(diǎn)重合時(shí)，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，此時(shí)：直線l_EF：4x-5y+8=0，此時(shí)b=

8

5

當(dāng)E與D點(diǎn)重合時(shí)，F(xiàn)與點(diǎn)A重合，此時(shí)：直線l_EF：8x-y+4=0，此時(shí)b=4
所以b∈[

8

5

，4]；
②若直線y=kx+b（k＞0）與三角形邊AC、BC分別交于點(diǎn)E、F，平分三角形ABC面積：


同理，取D為AC中點(diǎn)，作DF∥BE，
∴有S△EDF+S△CDF=S△BDF+S△CDF=S△CDB=

1

2

S△ABC，
∵k＞0，點(diǎn)E可從點(diǎn)A開始（圖2）運(yùn)動到與直線AB平行
且平分三角形面積的直線位置（圖三）
當(dāng)E與A點(diǎn)重合時(shí)，F(xiàn)為BC中點(diǎn)（圖2），此時(shí)：直線l_EF：4x-5y+8=0，此時(shí)b=

8

5

當(dāng)E運(yùn)動到與直線AB平行且平分三角形面積的直線位置（圖三）
直線lEF：y=4-2

2

，但此時(shí)k=0，∴4-2

2

＜b≤

8

5

；
③若直線y=kx+b（k＞0）與三角形邊AB、AC分別交于點(diǎn)E、F，平分三角形ABC面積：

取AB中點(diǎn)D，連CD，CE，過點(diǎn)D作DF∥CE，交AC于點(diǎn)F，
∵DF∥CE，∴S_△EDF=S_△CDF，故有S△EDF+S△ADF=S△CDF+S△ADF=S△ADC=

1

2

S△ABC
即S△AEF=S△CDA=

1

2

S△ABC，直線EF平分三角形ABC面積．
當(dāng)EF⊥x軸時(shí)，k不存在，
當(dāng)點(diǎn)E從EF⊥x軸的位置向點(diǎn)D運(yùn)動時(shí)，k＞0，滿足條件，
當(dāng)E與D點(diǎn)重合時(shí)，F(xiàn)與點(diǎn)A重合，此時(shí)：直線l_EF：8x-y+4=0，此時(shí)b=4
所以得b≥4，
綜合①②③可知，b∈(4-2

2

，+∞]．

點(diǎn)評：本題是一次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點(diǎn)三角形的面積求法．在求參數(shù)范圍問題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．