【題目】在如圖所示的多面體中,平面平面
,四邊形
為邊長為2的菱形,
為直角梯形,四邊形
為平行四邊形,且
,
,
.
(1)若,
分別為
,
的中點,求證:
平面
;
(2)若,
與平面
所成角的正弦值為
,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】試題分析:(1)第(1)問,轉(zhuǎn)化成證明平面
,再轉(zhuǎn)化成證明
和
.(2)第(2)問,先利用幾何法找到
與平面
所成角,再根據(jù)
與平面
所成角的正弦值為
求出
再建立空間直角坐標(biāo)系,求出二面角
的余弦值.
試題解析:
(1)連接,因為四邊形
為菱形,所以
.
因為平面平面
,平面
平面
,
平面
,
,所以
平面
.
又平面
,所以
.
因為,所以
.
因為,所以
平面
.
因為分別為
,
的中點,所以
,所以
平面
(2)設(shè),由(1)得
平面
.
由,
,得
,
.
過點作
,與
的延長線交于點
,取
的中點
,連接
,
,如圖所示,
又,所以
為等邊三角形,所以
,又平面
平面
,平面
平面
,
平面
,故
平面
.
因為為平行四邊形,所以
,所以
平面
.
又因為,所以
平面
.
因為,所以平面
平面
.
由(1),得平面
,所以
平面
,所以
.
因為,所以
平面
,所以
是
與平面
所成角.
因為,
,所以
平面
,
平面
,因為
,所以平面
平面
.
所以,
,解得
.
在梯形中,易證
,分別以
,
,
的正方向為
軸,
軸,
軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.
則,
,
,
,
,
,
由,及
,得
,所以
,
,
.
設(shè)平面的一個法向量為
,由
得
令
,得m=(3,1,2)
設(shè)平面的一個法向量為
,由
得
令
,得
.
所以
又因為二面角是鈍角,所以二面角
的余弦值是
.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω>0,<φ<
)的圖象關(guān)于直線
對稱,它的最小正周期為π,則( )
A. f(x)的圖象過點(0,) B. f(x)在
上是減函數(shù)
C. f(x)的一個對稱中心是 D. f(x)的一個對稱中心是
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某小區(qū)要建一個八邊形的休閑區(qū),如圖所示,它的主要造型平面圖是由兩個相同的矩形和
構(gòu)成的面積為
的十字形區(qū)域.計劃在正方形
上建一個花壇,造價為4200元/
,在四個相同的矩形(圖中陰影部分)上鋪設(shè)花崗巖地面,造價為210元/
,再在四個等腰直角三角形上鋪設(shè)草坪,造價為80元/
.求當(dāng)
的長度為多少時,建設(shè)這個休閑區(qū)的總價最低.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在甲、乙兩個班級進行數(shù)學(xué)考試,按照大于等于120分為優(yōu)秀,120分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計成績后,得到如下的2×2列聯(lián)表.已知在全部105人中抽到隨機抽取1人為優(yōu)秀的概率為.
優(yōu)秀 | 非優(yōu)秀 | 總計 | |
甲班 | 10 | ||
乙班 | 30 | ||
合計 |
(1)請完成上面的列聯(lián)表;
(2)根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù),若按95%的可能性要求,能否認為“成績與班級有關(guān)系”?
P(K2≥x0) | 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
x0 | 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.076 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
參考公式及數(shù)據(jù):K2=.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】判斷下列命題的真假并說明理由.
(1)某個整數(shù)不是偶數(shù),則這個數(shù)不能被4整除;
(2)若,且
,則
,且
;
(3)合數(shù)一定是偶數(shù);
(4)若,則
;
(5)兩個三角形兩邊一對角對應(yīng)相等,則這兩個三角形全等;
(6)若實系數(shù)一元二次方程滿足
,那么這個方程有兩個不相等的實根;
(7)若集合,
,
滿足
,則
;
(8)已知集合,
,
,如果
,那么
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線(
),直線
與拋物線
交于
(點
在點
的左側(cè))兩點,且
.
(1)求拋物線在
兩點處的切線方程;
(2)若直線與拋物線
交于
兩點,且
的中點在線段
上,
的垂直平分線交
軸于點
,求
面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)x=1與x=2是函數(shù)f(x)=aln x+bx2+x的兩個極值點.
(1)試確定常數(shù)a和b的值;
(2)判斷x=1,x=2是函數(shù)f(x)的極大值點還是極小值點,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】四邊形ABCD為矩形,AD⊥平面ABE,AE=EB=BC,F為CE上的點,且BF⊥平面ACE.
(1)求證:AE⊥BE;
(2)設(shè)M在線段AB上,且滿足AM=2MB,試在線段CE上確定一點N,使得MN∥平面DAE.
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