Question

【題目】已知拋物線方程，為焦點，為拋物線準(zhǔn)線上一點，為線段與拋物線的交點，定義：.

（1）當(dāng)時，求；

（2）證明：存在常數(shù)，使得.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）求得拋物線的焦點和準(zhǔn)線方程，求得PF的斜率和方程，解得Q的坐標(biāo)，由兩點的距離公式可得所求值；

（2）求得P（﹣1，0），可得a＝2，設(shè)P（﹣1，yP），yP＞0，PF：x＝my+1，代入拋物線方程，求得Q的縱坐標(biāo)，計算2d（P）﹣|PF|，化簡整理即可得證.

（1）拋物線方程y2＝4x的焦點F（1，0），準(zhǔn)線方程 ,當(dāng)，

kPF＝＝，PF的方程為y＝（x﹣1），代入拋物線的方程，解得xQ＝，

拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝﹣1，可得|PF|＝＝，

|QF|＝+1＝，d（P）＝＝；

（2）當(dāng)時，易得，不妨設(shè)，

直線，則，

聯(lián)立，得， ，

，

所以存在常數(shù)，使得.