Question

已知某同學(xué)上學(xué)途中必須經(jīng)過三個(gè)交通崗，且在每一個(gè)交通崗遇到紅燈的概率均為

1

3

，假設(shè)他在3個(gè)交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，用隨機(jī)變量ξ表示該同學(xué)遇到紅燈的次數(shù)．
（1）求該同學(xué)在第一個(gè)交通崗遇到紅燈，其它交通崗未遇到紅燈的概率；
（2）若ξ≥2，則該同學(xué)就遲到，求該同學(xué)不遲到的概率；
（3）求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）用事件A_i（i=1，2，3）表示該同學(xué)在第i個(gè)交通崗遇到紅燈，事件B表示“在第一個(gè)交通崗遇到紅燈，其它交通崗未遇到紅燈”，則B=A1

.

A2

.

A3

，且事件A_i兩兩相互獨(dú)立，得到概率．
（2）因?yàn)樵撏瑢W(xué)經(jīng)過三個(gè)交通崗時(shí)，是否遇到紅燈互不影響，所以可看成3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，即ξ～B（3，

1

3

） 
（3）根據(jù)隨機(jī)變量ξ～B（3，

1

3

），寫出分布列，得到Eξ=3×

1

3

，利用公式得到期望和分布列．

解答：解：（1）用事件A_i（i=1，2，3）表示該同學(xué)在第i個(gè)交通崗遇到紅燈，
事件B表示“在第一個(gè)交通崗遇到紅燈，其它交通崗未遇到紅燈”，（1分）
則B=A1

.

A2

.

A3

，且事件A_i兩兩相互獨(dú)立．    （2分）
所以P（B）=P（A1

.

A2

.

A3

）=

1

3

×

2

3

×

2

3

=

4

27

．（4分）
（2）因?yàn)樵撏瑢W(xué)經(jīng)過三個(gè)交通崗時(shí)，是否遇到紅燈互不影響，所以可看成3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，
即ξ～B（3，

1

3

）         （6分）
所以該學(xué)生不遲到的概率為：
P（ξ＜2）=1-P（ξ≥2）=1-

C

2 3

(

1

3

)2×

2

3

-(

1

3

)3=1-

7

27

=

20

27

   （8分）
（3）因?yàn)殡S機(jī)變量ξ～B（3，

1

3

）          （9分）
P（ξ=k）=

C

k 3

(

1

3

)n-k(

2

3

)k
所以Eξ=3×

1

3

=1，（11分）
答：該同學(xué)恰好在第一個(gè)交通崗遇到紅燈的概率為

4

27

；該同學(xué)不遲到的概率為

20

27

；
ξ的數(shù)學(xué)期望為1，方差為

2

3

．      （12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，以及二項(xiàng)分布，本題解題的關(guān)鍵是看出變量符合二項(xiàng)分布，利用二項(xiàng)分布的分布列和期望公式得到結(jié)論．