Question

拋物線y²=2px，（p＞0）與直線y=x+1相切，拋物線的焦點(diǎn)為F，AB和CD為過拋物線焦點(diǎn)F的兩條互相垂直的弦，中點(diǎn)分別為M和N．
（1）求拋物線的方程；
（2）求證：則直線MN必過定點(diǎn)P，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線y²=2px，（p＞0）與直線y=x+1相切，所以聯(lián)立方程，組成的方程組中△=0，即可解出P的值．求出拋物線方程．
（2）欲證明直線MN必過定點(diǎn)P，只需求出含參數(shù)的直線MN的方程，觀察是否過定點(diǎn)即可．設(shè)出A，B，M，N的坐標(biāo)，用A，B坐標(biāo)表示M，N坐標(biāo)，求出直線MN方程，化為點(diǎn)斜式，可以發(fā)現(xiàn)直線必過點(diǎn)（3，0），所以命題得證．

解答：（1）由

y=x+1 y2=2px

得，y²-2py+2p=0
∵拋物線y²=2px，（p＞0）與直線y=x+1相切，∴△=0
解得，p=2，∴拋物線的方程為y²=4x
（2）證明：設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₃，y₃），N（x₄，y₄）
把直線AB：y=k（x-1）代入y²=4x，得
k²x²-（2k²+4）x+k²=0，∴x₃=

x1+x2

2

=1+

2

k2

，y₃=k（x₃-1）=

2

k

同理可得，x₄=1+2k²，y₄=-2k
∴k_MN=

y3-y4

x3-x4

=

k

1-k2

∴直線MN為y-

2

k

=

k

1-k2

（x-1-

2

k2

），即y=

k

1-k2

（x-3），過定點(diǎn)P（3，0）．

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與拋物線相切的判斷，以及直線過定點(diǎn)的判斷．掌握它的判斷方法．