Question

【題目】已知函數(shù)

（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并加以證明；

（2）用定義證明在上是減函數(shù)；

（3）函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)還是單調(diào)減函數(shù)？（直接寫出答案，不要求寫證明過程）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函數(shù)為奇函數(shù)；（Ⅱ）略；（Ⅲ）在（﹣1，0）上是減函數(shù)．

【解析】

試題（Ⅰ）首先求函數(shù)定義域并驗(yàn)證其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再根據(jù)奇函數(shù)的定義驗(yàn)證即證；（Ⅱ）根據(jù)減函數(shù)的定義，證明當(dāng)且時(shí)，總有即證；（Ⅲ）由（Ⅰ）可知函數(shù)為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，得在（﹣1，0）上是減函數(shù)。

試題解析：（Ⅰ）函數(shù)為奇函數(shù)，理由如下：

易知函數(shù)的定義域?yàn)椋?/span>，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱.

又

在定義域上是奇函數(shù).

（Ⅱ）設(shè)且，則

∵0＜x1＜x2＜1，∴x1x2＜1，x1x2﹣1＜0，

又∵x2＞x1∴x2﹣x1＞0．

∴，即

因此函數(shù)在（0，1）上是減函數(shù).

（Ⅲ）在（﹣1，0）上是減函數(shù)．