Question

【題目】如圖，已知在四棱錐S﹣AFCD中，平面SCD⊥平面AFCD，∠DAF＝∠ADC＝90°，AD＝1，AF＝2DC＝4，，B，E分別為AF，SA的中點．

（1）求證：平面BDE∥平面SCF

（2）求二面角A﹣SC﹣B的余弦值

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）通過證明平面，平面，由此證得平面平面.

（2）取CD的中點O，連結SO，取AB的中點H，連結OH.證得兩兩垂直，由此建立空間直角坐標系，通過平面和平面的法向量，計算出二面角的余弦值.

（1）證明：∵∠DAF＝∠ADC＝90°，∴DC∥AF，

又B為AF的中點，∴四邊形BFCD是平行四邊形，∴CF∥BD，

∵BD平面BDE，CF平面BDE，

∴CF∥平面BDE，

∵B，E分別是AF，SA的中點，∴SF∥BE，

∵BE平面BDE，SF平面BDE，

∴SF∥平面BDE，

又CF∩SF＝F，∴平面BDE∥平面SCF．

（2）取CD的中點O，連結SO，

∵△SCD是等腰三角形，O是CD中點，∴SO⊥CD，

又平面SCD⊥平面AFCD，平面SCD∩平面AFCD＝CD，

∴SO⊥平面AFCD，取AB的中點H，連結OH，

由題設知四邊形ABCD是矩形，∴OH⊥CD，SO⊥OH，

以O為原點，OH為x軸，OC為y軸，OS為z軸，建立空間直角坐標系，

則A（1，﹣1，0），B（1，1，0），C（0，1，0），S（0，0，1），

∴（1，﹣2，0），（0，﹣1，1），（1，0，0），

設平面ASC的法向量（x，y，z），

則，取y＝1，得（2，1，1），

設平面BSC的法向量（x，y，z），

則，取y＝1，得（0，1，1），

∴cos，

由圖知二面角A﹣SC﹣B的平面角為銳角，

∴二面角A﹣SC﹣B的余弦值為．