Question

【題目】已知函數(shù)，若點(diǎn)在的圖像上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)在的圖象上運(yùn)動(dòng)

（1）求的最小值，及相應(yīng)的值

（2）求函數(shù)的解析式，指出其定義域，判斷并證明在上的單調(diào)性

（3）在函數(shù)和的圖象上是否分別存在點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

Answer 1

【答案】（1）的最小值為2，對(duì)應(yīng)的為0；（2），定義域?yàn)?/span>，，單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析；（3）存在

【解析】

（1）寫(xiě)出的解析式，依據(jù)基本不等式性質(zhì)即可求解；

（2）根據(jù)點(diǎn)的關(guān)系求出解析式，寫(xiě)出的解析式即可判斷單調(diào)性；

（3）設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)根據(jù)位置和對(duì)稱(chēng)關(guān)系列方程組求解.

（1），當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值為2，對(duì)應(yīng)的為0.

（2）設(shè)圖象上點(diǎn)，由題：，所以

點(diǎn)在的圖像上運(yùn)動(dòng)，則，

所以，，由得其定義域?yàn)?/span>

所以，定義域?yàn)?/span>

在定義域內(nèi)為增函數(shù)，證明如下：

任取，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性有：

，，

，

即

所以在定義域內(nèi)是增函數(shù).

（3）假設(shè)函數(shù)和的圖象上分別存在點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，

設(shè)其坐標(biāo)，則有：

解得：

故在函數(shù)和的圖象上分別存在點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng).