Question

數(shù)列{a_n}滿足S_n=2n-a_n(n∈N^*).
(1)計(jì)算a₁,a₂,a₃,a₄,并由此猜想通項(xiàng)公式a_n;
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的猜想.

Answer 1

（1）a₁=1，a₂= a₃= a₄= a_n=(n∈N^*)（2）證明略

（1）解 當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2-a₁,∴a₁=1.
當(dāng)n=2時(shí)，a₁+a₂=S₂=2×2-a₂,∴a₂=.
當(dāng)n=3時(shí)，a₁+a₂+a₃=S₃=2×3-a₃,∴a₃=.
當(dāng)n=4時(shí)，a₁+a₂+a₃+a₄=S₄=2×4-a₄,∴a₄=.
由此猜想a_n=(n∈N^*).
（2）證明 ①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1，結(jié)論成立.
②假設(shè)n=k(k≥1且k∈N^*)時(shí),結(jié)論成立，即a_k=,
那么n=k+1時(shí)，
a_k+1=S_k+1-S_k=2(k+1)-a_k+1-2k+a_k=2+a_k-a_k+1.
∴2a_k+1=2+a_k,
∴a_k+1===,
這表明n=k+1時(shí)，結(jié)論成立，
由①②知猜想a_n=（n∈N^*）成立.