Question

如圖所示,在底面為直角梯形的四棱錐PABCD中,AD∥BC,PD⊥平面ABCD,AD=1,AB=,BC=4.

(1)求證:BD⊥PC;
(2)求直線AB與平面PDC所成的角;
(3)設點E在棱PC上,=λ,若DE∥平面PAB,求λ的值.

Answer 1

（1）見解析  （2）60°  （3）

(1)證明:由題意知,AB⊥AD,AD=1,AB=,
∴BD=2,BC=4,
∴DC=2,
則BC²=DB²+DC²,
∴BD⊥DC,
∵PD⊥平面ABCD,
∴BD⊥PD,
而PD∩CD=D,
∴BD⊥平面PDC.
∵PC在平面PDC內(nèi),
∴BD⊥PC.
解:(2)如圖所示,過D作DF∥AB交BC于F,過點F作FG⊥CD交CD于G.

∵PD⊥平面ABCD,
∴平面PDC⊥平面ABCD,
∴FG⊥平面PDC,
∴∠FDG為直線AB與平面PDC所成的角.
在Rt△DFC中,∠DFC=90°,DF=,CF=3,
∴tan∠FDG=,
∴∠FDG=60°.
∴直線AB與平面PDC所成角為60°.
(3)連接EF,

∵DF∥AB,
∴DF∥平面PAB.
∵DE∥平面PAB,
∴平面DEF∥平面PAB,
∴EF∥AB,如圖所示,
∵AD=1,BC=4,BF=1,
∴==,
∴=,
即λ=.