Question

【題目】.已知函數(shù).

（1）求過點的圖象的切線方程；

（2）若函數(shù)存在兩個極值點， ，求的取值范圍；

（3）當(dāng)時，均有恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) (2) （3）

【解析】試題分析：（1）設(shè)切點坐標(biāo)為，則切線方程為 ，根據(jù)點坐標(biāo)，即可求出，從而得到切線方程；（2）對求導(dǎo)，令，要使存在兩個極值點， ，則方程有兩個不相等的正數(shù)根，從而只需滿足即可；（3）由在上恒成立可得在上恒成立，令，求出的單調(diào)性，可得出的最大值，即可求得的取值范圍.

試題解析：（1）由題意得，函數(shù)的定義域為，

設(shè)切點坐標(biāo)為，則切線方程為

把點代入切線方程，得： ，

過點的切線方程為：

（2）∵

∴

令

要使存在兩個極值點， ，則方程有兩個不相等的正數(shù)根.

又， .

故只需滿足即可

解得：

（3）由于在上恒成立.

∴在上恒成立.

令

則

當(dāng)時，

令，則

在上單調(diào)遞增

又，

∴存在便得，即，

故當(dāng)時， ，此時

當(dāng)時， 此時.

故函數(shù)在上遞增，在上遞減

從而：

令，

則

在上單調(diào)遞增，

∴

故.