Question

已知向量（λ≠0），，其中O為坐標原點．
（Ⅰ）若α-β=且λ=1，求向量與的夾角；
（Ⅱ）若不等式||≥2||對任意實數α，β都成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）λ=1時，利用向量模的坐標公式求出向量、的長度，從而得到•=cosθ，然后利用向量數理積的坐標公式，得到•=sin（β-α）=，最后解關于夾角θ的方程，可得向量與的夾角；
（Ⅱ）代入（1）的運算結果，將不等式||≥2||整理為：λ²-2λsin（β-α）+1≥4對任意實數α、β都成立，再結合正弦函數的有界性，建立關于λ的不等式組，解之可得滿足條件的實數λ的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）當λ=1時，
=（cosα，sinα），=（-sinβ，cosβ）
∴||=1，||=1
設向量 與的夾角為θ，得•=||||cosθ=cosθ
又∵•=cosα（-sinβ）+（sinα）cosβ=sin（α-β）=sin=
∴cosθ=
∵θ∈[0，π]
∴θ=
（Ⅱ）||²=|-|²=||²-2•+||²=λ²-2λsin（α-β）+1
不等式||≥2||可化為：λ²-2λsin（α-β）+1≥4，
即λ²-2λsin（α-β）-3≥0對任意實數α、β都成立
∵-1≤sin（α-β）≤1
∴
解得：λ≤-3或λ≥3
∴實數λ的取值范圍是（-∞，-3]∪[3，+∞）
點評：本題綜合了平面向量的數量積、和與差的三角函數以及不等式恒成立等知識點，屬于難題．解題時應該注意等價轉化和函數方程思想的運用．