Question

如圖四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PA⊥平面ABCD，AB=2，PC與平面ABCD成45°角，E、F分別為PA、PB的中點．
（1）求異面直線DE與AF所成角的大��；
（2）設M是PC上的動點，試問當M在何處時，才能使AM⊥平面PBD，證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）取PF的中點G，連接EG，則EG∥AF，連接DG，則∠GED即為所求的角（或補角），在△DEG中由余弦定理可求
（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，設M（x，y，z），由題意可得

PC

=(2，-2，-2

2

)，

PD

=(0，-2， -2

2

)，設

PM

=λ

PC

=（2λ，-2λ，-2

2

λ）=（x，y，z-2

2

）可求M，由AM⊥平面PBD可得AM⊥PD即

AM

•

PD

=0，代入可求λ，即確定M在PC的位置

解答：解：（1）取PF的中點G，連接EG，則EG∥AF，連接DG，則∠GED即為所求的角（或補角）
∵PA⊥面ABCD
∴∠PCA即為直線PC與平面ABCD成的角則∠PCA=45°
∵AB=2
∴PA=AC=

2

AB=2

2

，PC=4，PB=2

3

在Rt△PAB中，由F為PB的中點可知，AF=

1

2

PB=

3

，∴EG=

1

2

AF=

3

2

，
在Rt△PAD中，由E為PA的中點可知，DE=

AD2+AE2

=

6

在△PDB中，由余弦定理可得，

PD2+PB2-BD2

2PB•PD

=

PD2+PG2-DG2

2PD•PG

即

12+12-8

2×2 3 ×2 3

=

12+ 3 4 -DG2

2×2 3 × 3 2

∴DG=

35

2

△EDG中，由余弦定理可得，COS∠DEG=

DE2+EG2-DG2

2DE•EG

=

6+ 3 4 - 35 4

2 6 × 3 2

=-

2

3

∴異面直線DE與AF所成角為arccos

2

3

（2）當M為PC的三分點，即

PM

=

2

3

PC

時，滿足AM⊥平面PBD
證明如下：建立如圖所示的空間直角坐標系，設M（x，y，z）
則可得D（0，-2，0），P（0，0，，2

2

），B（2，0，0），A（0，0，0），C（2，-2，0）
∴

PC

=(2，-2，-2

2

)，

PD

=(0，-2， -2

2

)
設

PM

=λ

PC

=（2λ，-2λ，-2

2

λ）=（x，y，z-2

2

）
∴M(2λ，-2λ，2

2

-2

2

λ)，即

AM

=(2λ，-2λ，2

2

-2

2

λ)，
∵AM⊥平面PBD
∴AM⊥PD即

AM

•

PD

=4λ-2

2

(2

2

-2

2

λ)=0
∴12λ-8-0
∴λ=

2

3

即

PM

=

2

3

PC

點評：在立體幾何中線面，線線的平行與垂直關系是經�？疾榈膯栴}，以及線面角，線線角在高考中占分比較重．