如圖，在三棱錐
中，
，
，設(shè)頂點
在底面
上的射影為
．
（Ⅰ）求證:
；
（Ⅱ）設(shè)點
在棱
上，且
，試求二面角
的余弦值．
（1）根據(jù)題意，由于已知條件可知
平面
，那么利用線面垂直的性質(zhì)定理得到。
（2）
解析試題分析：證明：（I）方法一：由
平面
得
，
又
，則平面，
故
， 2分
同理可得
，則
為矩形，又
，
則為正方形，故
． 4分
方法二：由已知可得
，設(shè)
為
的中點，則
，則
平面
，故平面
平面，則頂點
在底面上的射影
必在
，故．
（II）方法一:由（I）的證明過程知
平面
，過作
，垂足為
，則易證得
，故
即為二面角
的平面角， 7分
由已知可得
，則
，故
，則
，
又
，則
， 9分
故
，即二面角的余弦值為． 11分
方法二: 由（I）的證明過程知為正方形，如圖建立坐標系，
則
，
可得
， 7分
則
，易知平面
的一個法向量為
，設(shè)平面
的一個法向量為
，則由
得
， 9分
則
，即二面角的余弦值為． 11分
考點：線面垂直的性質(zhì)定理以及二面角的大小
點評：主要是考查了線面垂直以及二面角的平面角的求解的運用屬于基礎(chǔ)題。
開心蛙口算題卡系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
如圖, 三棱柱ABC－A1B1C1中, 側(cè)棱A1A⊥底面ABC,且各棱長均相等. D, E, F分別為棱AB, BC, A1C1的中點. 
(Ⅰ) 證明EF//平面A1CD;
(Ⅱ) 證明平面A1CD⊥平面A1ABB1;
(Ⅲ) 求直線BC與平面A1CD所成角的正弦值.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
如圖，在四棱柱
（I）當正視方向與向量
的方向相同時，畫出四棱錐
的正視圖（要求標出尺寸，并寫出演算過程）；
（II）若M為PA的中點，求證：求二面角
（III）求三棱錐
的體積.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
如圖，在底面是正方形的四棱錐P—ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于點E，F(xiàn)是PC中點，G為AC上一點．
（1）求證：BD⊥FG；
（2）確定點G在線段AC上的位置，使FG//平面PBD，并說明理由．
（3）當二面角B—PC—D的大小為
時，求PC與底面ABCD所成角的正切值．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
在如圖所示的多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
且AC=AD=CD=DE=2，AB=1．
（Ⅰ）請在線段CE上找到點F的位置，使得恰有直線BF∥平面ACD，并證明這一事實；
（Ⅱ）求多面體ABCDE的體積．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
在長方體
中，
，過
、
、
三點的平面截去長方體的一個角后，得到如圖所示的幾何體
，且這個幾何體的體積為
．
（1）求棱
的長；
（2）求點
到平面
的距離．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝4，AB＝2，E、F分別在BC、AD上，EF∥AB．現(xiàn)將四邊形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF
平面EFDC．
(Ⅰ) 當
，是否在折疊后的AD上存在一點
，且
，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出
的值；若不存在，說明理由；
(Ⅱ) 設(shè)BE＝x，問當x為何值時，三棱錐A
CDF的體積有最大值？并求出這個最大值．
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所在的平面與正方形
所在的平面相互垂直，
、
分別是
、
的中點．
面
；
與平面
所成的角正弦值．
為平行四邊形
所在平面外一點，
為
的中點，
平面
．