Question

動點(diǎn)P（x，y）在線段AB上移動，其中A（-3，0），B（0，3），求：
（1）

y+1

x-1

的取值范圍；   
（2）

x2+y2

+

(x-1)2+y2

的最小值及此時P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線的傾斜公式，設(shè)C（1，-1）得

y+1

x-1

表示PC的斜率．由此作出圖形并觀察PC傾斜角的變化，即可得到

y+1

x-1

的取值范圍；
（2）設(shè)M（0，0），N（1，0），則所求目標(biāo)函數(shù)表示P與M、N兩點(diǎn)間的距離之和．利用點(diǎn)關(guān)于直線對稱的方法進(jìn)行求解，即可得到當(dāng)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-

9

7

，

12

7

）時，目標(biāo)函數(shù)的最小值為5．

解答：解：（1）設(shè)C（1，-1），則

y+1

x-1

=kPC，表示PC的斜率
觀察圖形，直線PA的傾斜角總是鈍角，由此可得
當(dāng)P與A重合時，k_PC=-

1

4

達(dá)到最大值；
當(dāng)P與B重合時，k_PC=-4達(dá)到最小值
∴k_PC∈[-4，-

1

4

]，即-4≤

y+1

x-1

≤-

1

4

（2）直線AB的方程為l_AB：x-y+3=0，
設(shè)M（0，0），N（1，0），M'為點(diǎn)M關(guān)于直線AB對稱的點(diǎn)，
求得M'（-3，3），則|PM|+|PN|=

x2+y2

+

(x-1)2+y2

∵|PM|+|PN|=|PM′|+|PN|≥|M′N|
∴當(dāng)P、M'、N三點(diǎn)共線時，
|PM|+|PN|達(dá)到最小值|M′N|=

(-3-1)2+(3-0)2

=5
求得直線M′N方程為3x+4y-3=0，
由此解出M′N、AB的交點(diǎn)坐標(biāo)為P（-

9

7

，

12

7

）
∴

x2+y2

+

(x-1)2+y2

的最小值等于5，此時P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-

9

7

，

12

7

）．

點(diǎn)評：本題給出線段AB，求直線斜率的范圍并求距離和的最小值．著重考查了直線的基本量與基本形式、點(diǎn)關(guān)于直線對稱和兩點(diǎn)的距離公式等知識，屬于基礎(chǔ)題．