Question

動(dòng)點(diǎn)P（x，y）在線段AB上移動(dòng)，其中A（-3，0），B（0，3），求：
（1）的取值范圍；   
（2）的最小值及此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)直線的傾斜公式，設(shè)C（1，-1）得表示PC的斜率．由此作出圖形并觀察PC傾斜角的變化，即可得到的取值范圍；
（2）設(shè)M（0，0），N（1，0），則所求目標(biāo)函數(shù)表示P與M、N兩點(diǎn)間的距離之和．利用點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的方法進(jìn)行求解，即可得到當(dāng)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的最小值為5．
解答：解：（1）設(shè)C（1，-1），則，表示PC的斜率
觀察圖形，直線PA的傾斜角總是鈍角，由此可得
當(dāng)P與A重合時(shí)，k_PC=-達(dá)到最大值；
當(dāng)P與B重合時(shí)，k_PC=-4達(dá)到最小值
∴k_PC∈[-4，-]，即
（2）直線AB的方程為l_AB：x-y+3=0，
設(shè)M（0，0），N（1，0），M'為點(diǎn)M關(guān)于直線AB對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，
求得M'（-3，3），則|PM|+|PN|=
∵|PM|+|PN|=|PM′|+|PN|≥|M′N(xiāo)|
∴當(dāng)P、M'、N三點(diǎn)共線時(shí)，
|PM|+|PN|達(dá)到最小值|M′N(xiāo)|==5
求得直線M′N(xiāo)方程為3x+4y-3=0，
由此解出M′N(xiāo)、AB的交點(diǎn)坐標(biāo)為P（）
∴的最小值等于5，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（）．
點(diǎn)評(píng)：本題給出線段AB，求直線斜率的范圍并求距離和的最小值．著重考查了直線的基本量與基本形式、點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)和兩點(diǎn)的距離公式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．