Question

已知圓M：（x+1）²+y²=8，定點N（1，0），點P為圓M上的動點，若Q在NP上，點G在MP上，且滿足．
（I）求點G的軌跡C的方程；
（II）直線l過點P（0，2）且與曲線C相交于A、B兩點，當△AOB面積取得最大值時，求直線l的方程．

Answer 1

解：（I）∵
∴|GP|=|GN|
∴
∵|MN|=2
∴G是以M，N為焦點的橢圓
設曲線C：，得a²=2，b²=1
∴點G的軌跡C的方程為：（6分）
（II）由題意知直線l的斜率存在，
設直線l的方程為y=kx+2A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
由得：（1+2k²）x²+8kx+6=0
由直線l與橢圓相交于A、B兩點，
∴
由根與系數關系得
令
∴
當且僅當，即m=2時，，此時
∴所求的直線方程為（13分）

略