Question

【題目】定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，當0≤x≤1時，f(x)＝x，

(1)試畫出f(x)，x∈[－3,5]的圖象；

(2)求f(37.5)；

(3)常數(shù)a∈(0,1)，y＝a與f(x)，x∈[－3,5]的圖象相交，求所有交點橫坐標之和．

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2） ； （3）4.

【解析】

(1)由題得函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，關(guān)于直線x=1對稱，依次性質(zhì)作出函數(shù)的圖像.(2)由圖可知f(x＋4)＝f(x)，所以函數(shù)的周期是4，再利用周期性求值.(3) 由圖可知，當a∈(0,1)時，y＝a與f(x)，x∈[－3,5]有4個交點，設(shè)為x1，x2，x3，x4(x1<x2<x3<x4)．由圖可知＝－1，＝3.即得所有交點橫坐標之和．

(1)∵f(x)為奇函數(shù)，

∴f(x＋2)＝f(－x)，

∴f(x)關(guān)于直線x＝1對稱．

由f(x)在[0,1]上的圖象反復(fù)關(guān)于(0,0)，x＝1對稱，可得f(x)，x∈[－3,5]的圖象如圖．

(2)由圖可知f(x＋4)＝f(x)，

∴f(37.5)＝f(4×9＋1.5)＝f(1.5)＝f(0.5)＝.

(3)由圖可知，當a∈(0,1)時，y＝a與f(x)，x∈[－3,5]有4個交點，設(shè)為x1，x2，x3，x4(x1<x2<x3<x4)．

由圖可知＝－1，＝3.

∴x1＋x2＋x3＋x4＝－2＋6＝4.