Question

【題目】已知函數(shù)，，其中為常數(shù)，函數(shù)和的圖象在它們與坐標軸交點處的切線互相平行．

（1）求的值；

（2）若存在，使不等式成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）令，求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）分別求出與與y軸和x軸的交點坐標，求出兩函數(shù)在與坐標軸交點處的導數(shù)，由導數(shù)值相等求得a的值；

（2）由（1）中求得的a值得到的解析式，代入，把存在使不等式恒成立轉(zhuǎn)化為存在，不等式恒成立，構(gòu)造函數(shù)，，利用導數(shù)求其最大值后得答案；

（3）把，代入，去絕對值后得到（），借助于兩個輔助函數(shù)（），（），證得，，兩式聯(lián)立后得答案．

（1）的圖象與軸的交點為，的圖象與軸的交點為，

，（），由，，得；

（2）因為，令，，

則，

所以在上是減函數(shù)，所以，

因為“存在，使不等式成立”的充要條件是，

所以的取值范圍為；

（3）（），

記（），因為，所以在上是增函數(shù)，

又因為，所以，，所以，①

記（），因為，所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，

所以，所以，，所以，②

由①②可得，所以，即．